Question

現有一批貨物用輪船從上海洋山深水港運往青島，已知該船航行的最大速度為35海里/小時，上海至青島的航行距離約為500海里，每小時運輸成本由燃料費用和其余費用組成、輪船每小時的燃料費用與輪船速度的平方成正比（比例系數為0.6），其余費用每小時960元，
（1）把全程運輸費用y（元）表示為速度x（海里/小時）的函數；
（2）為了使全程運輸成本最低，輪船應以多大速度行駛？

Answer 1

分析：（1）全程運輸費用y（元）包括燃料費用和其余費用，每小時燃料費用 m=0.6x²（0＜x≤35）、其余費用每小時960元，兩項相加即 為每小時的費用，全程的時間與每小時費用的乘積即全程費用．
（2）全程運輸費用y（元）關于速度x（海里/小時）的函數是y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]，求函數的最小值時因為基本不等式等號成立的條件不足備，所以用單調性來最小值，用導數判斷函數的單調性比較快捷．

解答：解：（1）設每小時燃料費用為m元，則m=0.6x²（0＜x≤35）、由題意，全程所用的時間為

500

x

小時，所以y=0.6x2•

500

x

+960•

500

x

=300(x+

1600

x

)，x?（0，35]，
故所求的函數為y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]，
（2）以下討論函數y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]的單調性：y/=300(1-

1600

x2

)，x∈（0，35]時，y^/＜0，
∴函數y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]是減函數，
故當輪船速度為35海里/小時，所需成本最低．

點評：本題考查應用題的轉化能力及考查基本不等式求最值的條件，以及用導數法判斷函數在某個區間上的單調性．用單調性求最值．