Question

（2012•安徽模擬）如果函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

4π

3

，0)成中心對(duì)稱，且-

π

2

＜φ＜

π

2

，則函數(shù)y=f(x+

π

3

)為（　�。�

• A．奇函數(shù)且在(0，

  π

  4

  )上單調(diào)遞增
• B．偶函數(shù)且在(0，

  π

  2

  )上單調(diào)遞增
• C．偶函數(shù)且在(0，

  π

  2

  )上單調(diào)遞減
• D．奇函數(shù)且在(0，

  π

  4

  )上單調(diào)遞減

Answer 1

分析：2×

4π

3

+∅=kπ+

π

2

，k∈z，再由 -

π

2

＜φ＜

π

2

，可得∅=-

π

6

，從而求得函數(shù)f（x）的解析式，從而得到f（x+3）的解析式．

解答：解：函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

4π

3

，0)成中心對(duì)稱，
∴2×

4π

3

+∅=kπ+

π

2

，k∈z．
再由 -

π

2

＜φ＜

π

2

，可得∅=-

π

6

，故函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

6

），
故y=f(x+

π

3

)=cos[2（x+

π

3

）-

π

6

]=cos（2x+

π

2

）=-sin2x，
故函數(shù)y=f(x+

π

3

)為奇函數(shù)且在(0，

π

4

)上單調(diào)遞減，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求函數(shù)的解析式，余弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于中檔題．