Question

設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).
，
(1)求的表達(dá)式；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，比較與的大小，并加以證明.

Answer 1

（1）；（2）；（3），證明見解析.

試題分析：（1）易得，且有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，當(dāng)時，由，得，所以數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，繼而得，經(jīng)檢驗，所以；
在范圍內(nèi)恒成立，等價于成立，令 ，即成立，，令，得，分和兩種情況討論，分別求出的最小值，繼而求出的取值范圍；
（3）由題設(shè)知：，，比較結(jié)果為：，證明如下：上述不等式等價于
在（2）中取，可得，令，則，即，使用累加法即可證明結(jié)論.
試題解析：，，
（1）
，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
當(dāng)時，
當(dāng)時

，，即
數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列


當(dāng)時，

（2）在范圍內(nèi)恒成立，等價于成立
令，即恒成立，

令，即，得
當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增

所以當(dāng)時，在上恒成立；
當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以
設(shè)

因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減
所以，即
所以不恒成立
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為
（3）由題設(shè)知：，

比較結(jié)果為：
證明如下：
上述不等式等價于
在（2）中取，可得
令，則，即
故有


上述各式相加可得：
結(jié)論得證.