Question

已知橢圓C：的右焦點為F，離心率，橢圓C上的點到F的距離的最大值為，直線l過點F與橢圓C交于不同的兩點A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意心率，橢圓C上的點到右焦點F的距離的最大值為，可以建立關于a，b，c的方程解出即可；
（2）由題意分設出直線的方程把直線方程與橢圓方程進行聯立，利用根與系數的關系及弦長公式求解即可建立方程求得．
解答：解：（1）由題意知，，
所以，從而b=1，
故橢圓C的方程為
（2）容易驗證直線l的斜率不為0，故可設直線l的方程為x=my+1，代入中，
得（m²+2）y²+2my-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由根與系數的關系，得       ，
     =，
解得m=±，
所以直線l的方程為，即或．
點評：此題考查了橢圓的標準方程及其基本性質，求解時用到了方程的思想，還考查了直線方程與橢圓方程聯立后利用根與系數的關系設而不求整體代換的思想，還考查了弦長公式．