Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為等邊三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點．

（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；
（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；
（3）求三棱錐C﹣BC1D的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，

連接B1C交BC1于O，連接OD，

因為四邊形BCC1B1是平行四邊形，

所以點O為B1C的中點，

又因為D為AC的中點，

所以OD為△AB1C的中位線，

所以OD∥B1A，

又OD平面C1BD，AB1平面C1BD，

所以AB1∥平面C1BD．

（2）證明：因為△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，

所以BD⊥AC，

又因為AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BD，

根據線面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，

又因為BD平面C1BD，

所以平面C1BD⊥平面A1ACC1

（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3 ，

∴S△BCD= ×3×3 = ，

∴ = = 6=9 ．

【解析】1、根據已知條件作輔助線：連接B1C交BC1于O，連接OD，由題意可得OD∥B1A，利用線面平行的判定定理可得證。
2、利用線面垂直的性質定理和判定定理可得證。
3、利用等體積法轉化頂點和底面可求出體積。
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．