Question

【題目】已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．現給出如下結論：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正確結論的序號是（ ）
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：求導函數可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），

∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．

∴a＜1＜b＜3＜c，

設f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，

∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，

∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9，

∴b+c=6﹣a，

∴bc=9﹣a（6﹣a）＜ ，

∴a2﹣4a＜0，

∴0＜a＜4，

∴0＜a＜1＜b＜3＜c，

∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，

∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0．

故選：C．

【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．