Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，分別交直線于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）以線段為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，定點坐標為或

【解析】

（1）根據相切得到，根據離心率得到，得到橢圓方程.

（2）設直線的方程為，點、的坐標分別為，，聯立方程得到，，計算點的坐標為，點的坐標為，圓的方程可化為，得到答案.

（1）根據題意：，因為，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為，點、的坐標分別為，，

把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，

所以，，

所以，，

因為直線的斜率，所以直線的方程，

所以點的坐標為，同理，點的坐標為，

故以為直徑的圓的方程為，

又因為，，

所以圓的方程可化為，令，則有，

所以定點坐標為或.