Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，a，b∈R
（1）曲線C：y=f（x）經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），且曲線C在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=2x+1，求a，b的值．
（2）已知f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：0＜a+b＜2．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）經(jīng)過P（1，2），所以該點(diǎn)坐標(biāo)適合曲線方程，又曲線C在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=2x+1，所以f^′（1）=2，聯(lián)立兩方程可求得a，b的值；
（2）要使f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則有f^′（x）=0在在（1，2）上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，根據(jù)三個(gè)二次的關(guān)系列式，通過整理變形可以得到要整的結(jié)論．

解答：解：（1）由f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，得：f^′（x）=x²+2ax+b
因?yàn)閥=f（x）經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），所以有

1

3

×13+a×12+b=2，即3a+3b-5=0 ②
又曲線C在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=2x+1，所以f^′（1）=2a+b+1=2，即2a+b-1=0   ①
聯(lián)立①②得：a=-

2

3

，b=

7

3

；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的二次方程x²+2ax+b=0在（1，2）
上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則

△=(2a)2-4b＞0 -2＜a＜-1 1+2a+b＞0 4+4a+b＞0

把

-2＜a＜-1 1+2a+b＞0

相加得a+b＞0，
由△＞0得b＜a²，
則a+b＜a+a2=(a+

1

2

)2-

1

4

＜2，則結(jié)論得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值及函數(shù)切線方程問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了求求曲線在某點(diǎn)的切線方程的方法及如何讓運(yùn)用三個(gè)二次的結(jié)合解決二次方程在給定區(qū)間上根的問題，對(duì)基本運(yùn)算進(jìn)行了考查．