Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n=2（a_n-1）（n∈N^*）
（1）證明數列{a_n}是等比數列　　　
（2）求數列{a_n}的第5項到第10項的和S．

Answer 1

分析：（1）根據a₁=S₁算出a₁=2，當n≥2時由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，算出a_n=2a_n-1，從而得出{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數列；
（2）由等比數列的通項公式，結合（1）的結論算出a_n=2ⁿ，再利用題中等式得出S_n=2ⁿ⁺¹-2，從而數列{a_n}的第5項到第10項的和S=S₁₀-S₅=1984．

解答：解：（1）∵S_n=2（a_n-1），…①
∴當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，可得a₁=2，
則當n≥2，n∈N^*時，S_n-1=2（a_n-1-1）…②
①-②，得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
整理得a_n=2a_n-1，（n≥2）
∴{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數列．
（2）由（1）得a_n=2×2^n-1=2ⁿ，可得S_n=2（a_n-1）=2ⁿ⁺¹-2
因此數列{a_n}的前10項的和S₁₀=2¹¹-2，前5項的和S₅=2⁶-2，
∴數列{a_n}的第5項到第10項的和S=S₁₀-S₅=2¹¹-2⁶=1984．

點評：本題給出數列的通項a_n與S_n前n項和的關系式，求數列的通項公式．著重考查了等比數列的定義與通項公式、數列的通項與求和等知識，屬于中檔題．