Question

已知函數f

x

=ln|x|

x≠0

，函數g

x

=

1

f′ x

+af′

x

x≠0

（I）當x≠0時，求函數y=g

x

的表達式；
（Ⅱ）若a＞0，且函數y=g

x

在

0，+∞

上的最小值是2，求a的值；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中所求的a值，若函數h(x)=

1

3

x3-

b+1

2a

x2+bx，x∈R，恰有三個零點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用基本初等函數的導數公式求出函數f（x）的導函數，代入函數g

x

=

1

f′ x

+af′

x

x≠0

可得到第一問的解析式；
（Ⅱ）利用（1）得到當x＞0時的g（x）的解析式，然后利用基本不等式求最值，由最小值為2列式求a的值；
（Ⅲ）求出函數h（x）的導函數，得到導函數的零點，然后分b和1的關系結合導函數的符號分類討論函數恰有三個零點時的b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f

x

=ln|x|，
∴當x＞0時，f

x

=lnx； 當x＜0時，f

x

=ln

-x

∴當x＞0時，f′

x

=

1

x

； 當x＜0時，f′

x

=

1

-x

•

-1

=

1

x

．
∴當x≠0時，函數y=g

x

=x+

a

x

；
（Ⅱ）∵由（1）知當x＞0時，g

x

=x+

a

x

，
∴當a＞0，x＞0時，g

x

≥2

a

當且僅當x=

a

時取等號．
由2

a

=2，得a=1，
（Ⅲ）h′（x）=x²-（b+1）x+b=（x-1）（x-b）
令h′（x）=0，得x=1或x=b．
（1）若b＞1，則當0＜x＜1時，h′（x）＞0，當1＜x＜b，時h′（x）＜0，當x＞b時，h′（x）＞0；
（2）若b＜1，且b≠0，則當0＜x＜b時，h′（x）＞0，當b＜x＜1時，h′（x）＜0，當x＞1時，h′（x）＞0．
所以函數h（x）有三個零點的充要條件為

f(1)＞0 f(b)＜0

或

f(1)＜0 f(b)＞0

解得b＜

1

3

或b＞3．
綜合：b∈(-∞，0)∪(0，

1

3

)∪(3，+∞)
另解：h(x)=

1

3

x3-

b+1

2

x2+bx=

1

6

x[2x2-3(b+1)x+6b]
所以，方程2x²-3（b+1）x+6b=0，有兩個不等實根，且不含零根．
由

9(b+1)2-48b＞0 b≠0

，解得：b∈(-∞，0)∪(0，

1

3

)∪(3，+∞)．

點評：本題考查了利用導數研究閉區間上的最值，考查了根的存在性及根的個數的判斷，考查了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，訓練了判別式法，是有一定難度題目．