Question

已知函數f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（Ⅰ）若f（x）能表示成一個奇函數g（x）和一個偶函數h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）命題P：函數f（x）在區間[（a+1）²，+∞） 上是增函數； 命題Q：函數g（x）是減函數．如果命題P、Q有且僅有一個是真命題，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，比較f（1）和

1

6

的大小．

Answer 1

分析：（I）根據函數奇偶性的定義，解關于g（x）、h（x）的方程組，整理即可得到g（x）、h（x）的表達式；
（II）分別由二次函數和一次函數的單調性，建立關于a的不等式組，解之找出命題P、Q都是真命題的a的范圍，結合P、Q有且僅有一個是真命題加以求解，即可得到實數a的取值范圍；
（III）根據（II）化簡得f（1）=（a+2）+lg|a+2|，結合函數的單調性和a＞-

3

2

，可得f（1）≥

1

2

+lg

1

2

，再利用對數的運算性質將不等式進行放縮，可得f（1）＞

1

6

成立．

解答：解：（Ⅰ）設f（x）=g（x）+h（x）----①，其中g（x）是奇函數，h（x）是偶函數，
則有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=-g（x）+h（x），----②
聯解①、②，可得g（x）=

1

2

[f（x）-f（-x）]=（a+1）x
h（x）=

1

2

[f（x）+f（-x）]=x²+lg|a+2|…（4分）
（Ⅱ）∵函數f（x）=（x+

a+1

2

）²-

1

4

（a+1）²+lg|a+2|在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數．
∴（a+1）²≥-

a+1

2

，解之得a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2．…（6分）
又∵函數g（x）=（a+1）x是減函數，得a+1＜0，
∴a＜-1且a≠-2．…（8分）
因此，命題P為真的條件是：a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2；命題Q為真的條件是a＜-1且a≠-2．
∴命題P、Q有且僅有一個是真命題時，a＞-

3

2

…（10分）
（Ⅲ）f（1）=1²+（a+1）•1+lg|a+2|，即f（1）=（a+2）+lg|a+2|，
∵a＞-

3

2

，∴f（1）=a+2+lg（a+2），
∵t=a+2+lg（a+2），t是關于a的單調增函數
∴f（1）≥-

3

2

+2+lg（-

3

2

+2）=

1

2

+lg

1

2

＞

1

2

+lg

1

3 10

=

1

2

-

1

3

=

1

6

即f（1）＞

1

6

成立，故f（1）要大于

1

6

．…（14分）

點評：本題給出含有對數作為系數的二次函數，討論函數的奇偶性并依此比較兩個數的大小，著重考查了二次函數的圖象與性質、不等式的基本性質和命題真假的判斷等知識點，屬于中檔題．