Question

已知函數f（x）=

ax-1

ax+1

(a＞1)．
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）求該函數的值域；
（3）證明f（x）是R上的增函數．

Answer 1

分析：（1）用函數的奇偶性定義判斷，先求函數的定義域，看是否關于原點對稱，若定義域關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）是相等還是相反即可
（2）可運用分離常數的辦法求此函數的值域，將函數f（x）=

ax-1

ax+1

(a＞1)等價轉化為f（x）=1-

2

ax+1

，再由復合函數值域的求法即換元法，求此函數值域即可
（3）先求函數的導函數，再證明導函數恒大于零，即可證明f（x）是R上的增函數，也可用單調性定義證明

解答：解：（1）函數的定義域為R，
f（-x）+f（x）=

a-x-1

a-x+1

+

ax-1

ax+1

=

(ax-1)(a-x+1)+(a-x-1)(ax+1)

(ax+1)(a-x+1)

=0
∴函數f（x）為奇函數  
 （2）∵f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

   （a＞1）
設t=a^x，則t＞0，y=1-

2

t+1

的值域為（-1，1）
∴該函數的值域為（-1，1）
（3）證明：法一：∵f′（x）=

2axlna

(ax+1)2

＞0
∴f（x）是R上的增函數
法二：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∴ax1-ax2＜0，ax1+1＞0，ax2+1＞0，
∴

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數

點評：本題考察了函數奇偶性的定義和判斷方法，求函數值域的方法和證明函數單調性的方法，解題時要準確把握基本概念，熟練的運用轉化化歸思想解題