Question

已知點A(1，0)，B(0，1)和互不相同的點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，滿足，其中{a_n}，{b_n}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，O為坐標原點，若P₁是線段AB的中點.

(1)求a₁，b₁的值；

(2)點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否共線？證明你的結(jié)論；

(3)證明：對于給定的公差不零的{a_n}，都能找到唯一的一個{b_n}，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一個指數(shù)函數(shù)的圖象上．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)是線段的中點 　　又，且不共線， 　　由平面向量基本定理，知： 　　(2)由 　　設(shè)的公差為，的公比為，則由于，，，…，，…互不相同，所以，不會同時成立； 　　若，則， 　　，，，…，，…都在直線上； 　　若，則為常數(shù)列， 　　，，，…，，…都在直線上； 　　若且，，，，…，，…共線 　　與共線() 　　 　　與矛盾， 　　∴當且時，，，，…，，…不共線． 　　(3)設(shè)都在指數(shù)函數(shù)的圖像上，則 　　 　　令，則， 　　于是，有唯一解， 　　由于，，從而滿足條件“，，，…，，…互不相同”． 　　∴當對于給定的，都能找到唯一的一個， 　　使得，，，…，，…，都在指數(shù)函數(shù)的圖象上