Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點分別為，上頂點為， 是斜邊長為的等腰直角三角形,若直線與橢圓交于不同兩點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當時，求線段的長度；

（Ⅲ）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由是斜邊長為的等腰直角三角形，可得，即可求出橢圓的標準方程；（Ⅱ）聯立直線和橢圓的方程，消去可得，根據韋達定理和弦長公式可得線段的長度；（Ⅲ）根據點到直線的距離公式求出，再根據，即可求出的值.

試題解析：（Ⅰ）由題意， ，且

∴，則橢圓的標準方程為

（Ⅱ）把直線和橢圓的方程聯立，則

當時，有， ，

∴

（Ⅲ）假設存在，使得.

∵

點到直線的距離為

∴

∴，解得

代入

∴均符合題意