Question

已知函數f(x)=2x-

a

2x

（a∈R），將y=f（x）的圖象向右平移兩個單位，得到函數y=g（x）的圖象，函數y=h（x）與函數y=g（x）的圖象關于直線y=1對稱．
（Ⅰ）求函數y=g（x）和y=h（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a在x∈[0，1]上有且僅有一個實根，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設F（x）=f（x）+h（x），已知F（x）＞2+3a對任意的x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖象的平移可得g（x）的解析式，由對稱區間的解析式的求解方法可得h（x）的解析式；
（Ⅱ）設t=2^x，問題轉化為t²-at-a=0在t∈[1，2]上有且僅有一個實根，由分類討論的思想可得答案；
（Ⅲ）設t=2^x，t∈（2，+∞）．問題轉化為t²-4at+4a＞0對任意t∈（2，+∞）恒成立，構造函數m(t)=

t2

t-1

，可得其最小值，進而可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得g(x)=f(x-2)=2x-2-

a

2x-2

．
設y=h（x）的圖象上一點P（x，y），點P（x，y）關于y=1的對稱點為Q（x，2-y），
由點Q在y=g（x）的圖象上，所以2x-2-

a

2x-2

=2-y，
于是y=2-2x-2+

a

2x-2

，即h(x)=2-2x-2+

a

2x-2

．
（Ⅱ）設t=2^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
由2x-

a

2x

=a得t-

a

t

=a，即t²-at-a=0在t∈[1，2]上有且僅有一個實根．
設k（t）=t²-at-a，對稱軸t=

a

2

．
若k（1）=0，則a=

1

2

，兩根為t1=1，t2=-

1

2

．適合題意；
若k（2）=0，則a=

4

3

，兩根為t1=2，t2=-

2

3

．適合題意．
若在（1，2）內有且僅有一個實根，則k（1）•k（2）＜0①或    

△=0 1≤ a 2 ≤2

②
由①得 (1-2a)(4-3a)＜0?

1

2

＜a＜

4

3

；
由②得 

a2+4a=0 2≤a≤4

無解．
綜上可得a∈[

1

2

，

4

3

]．
（Ⅲ）F(x)=f(x)+h(x)=

3

4

•2x+

3a

2x

+2．
由F（x）＞2+3a，化簡得

1

4

•2x+

a

2x

＞a，設t=2^x，t∈（2，+∞）．
即t²-4at+4a＞0對任意t∈（2，+∞）恒成立．
注意到t-1＞1，分離參數得a＜

t2

4(t-1)

對任意t∈（2，+∞）恒成立．
設m(t)=

t2

t-1

，t∈（2，+∞），即a＜

1

4

m(t)min，
而m(t)=

t2

t-1

=(t-1)+

1

t-1

+2．
可證m（t）在（2，+∞）上單調遞增．
∴m（t）＞m（2）=4，
∴a≤

1

4

•4=1，即a∈（-∞，1]．

點評：本題考查函數解析式的求解，以及恒成立問題，涉及分類討論的思想，屬中檔題．