Question

【題目】拋物線M:的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l(與x軸不垂直)交拋物線M于點(diǎn)A，B，A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為.

(1)求證:直線過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)；

(2)若的垂直平分線交拋物線于C，D，四邊形外接圓圓心N的橫坐標(biāo)為19，求直線AB和圓N的方程.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析，定點(diǎn)；(2)直線AB:，圓N:

【解析】

(1)設(shè)直線AB:()，求出:，令即得定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求出,再分類討論，先求出CD方程為：，再根據(jù)線段CD是圓N的直徑，求出直線AB和圓N的方程.

(1)設(shè)直線AB:()，代入拋物線方程得:，

設(shè)，，則，

所以，，

從而:，令得:

，

所以直線過(guò)定點(diǎn).

(2)由(1)知:，

且，

當(dāng)時(shí)，

直線:，

設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，

所以，所以，

從而CD:即，

上述方程代入得:(*)，

因?yàn)?/span>CD是的垂直平分線，所以線段CD是圓N的直徑，

所以，解得:.

所以直線AB:.此時(shí)CD:，時(shí)，

方程(*)化簡(jiǎn)為:，求得，

圓N:；

當(dāng)時(shí)，同理求得AB:，圓N:.

綜上，直線AB:，圓N:.