Question

對任意的實數m，直線y=mx+b與橢圓x²+4y²=1恒有公共點，則b的取值范圍是（　　）

• A．(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )
• B．[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• C．[-2，2]
• D．（-2，2）

Answer 1

分析：由直線y=mx+b與橢圓x²+4y²=1恒有公共點，知由其聯立方程組恒有解，消掉y得關于x的二次方程，由△≥0對任意m恒成立可得b的范圍．

解答：解：由

y=mx+b x2+4y2=1

，得（1+4m²）x²+8mbx+4b²-1=0，
因為直線y=mx+b與橢圓x²+4y²=1恒有公共點，
所以△=64m²b²-（1+4m²）（4b²-1）≥0，即4b²≤4m²+1對任意m恒成立，
所以4b²≤1，解得-

1

2

≤b≤

1

2

，
故選B．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查函數恒成立問題，考查學生解決問題的能力．