Question

（2012•西城區二模）已知曲線C的方程是(x-

|x|

x

)2+(y-

|y|

y

)2=8，給出下列三個結論：
①曲線C與兩坐標軸有公共點；
②曲線C既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；
③若點P，Q在曲線C上，則|PQ|的最大值是6

2

．
其中，所有正確結論的序號是

②③

．

Answer 1

分析：先分類討論化簡方程，再根據方程對應軛曲線，即可得到結論．

解答：解：當x＞0，y＞0時，方程是（x-1）²+（y-1）²=8；
當 x＞0，y＜0 時，方程是（x-1）²+（y+1）²=8；
當 x＜0，y＞0 時，方程是（x+1）²+（y-1）²=8；
當 x＜0，y＜0 時，方程是（x+1）²+（y+1）²=8
由于x≠0且y≠0，所以①不正確；
曲線C既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，對稱中心為（0，0），對稱軸為x，y軸，故②正確；
點P，Q在曲線C上，當且僅當P，Q與圓弧所在圓心共線時取得最大值，|PQ|的最大值是圓心距加兩個半徑，即6

2

，故③正確．
綜上知②③
故答案為：②③

點評：本題考查曲線與方程的概念，體現分類討論、數形結合的數學思想，屬于中檔題．