Question

已知

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，-cosx），x∈R，定義函數(shù)f（x）=

m

•

n

-

1

2

（1） 求函數(shù)．f（x）的最小正周期，值域，單調(diào)增區(qū)間．
（2） 設(shè)△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且c=

3

，f（C）=0，若

d

=（1，sinA）與

e

=（2，sinB）
共線，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求出

m

•

n

，代入f（x）解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角差的正弦函數(shù)公式化簡為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可求出f（x）的值域和單調(diào)增區(qū)間；
（2）由f（C）=0，代入f（x）的解析式中，根據(jù)C的范圍，即可得到C的度數(shù)，然后根據(jù)平面向量平行時(shí)滿足的條件以及正弦定理得到a與b的關(guān)系式，記作①，再根據(jù)余弦定理，由c和sinC的值表示出a與b的另一個(gè)關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②即可求出a與b的值．

解答：解：（1）由題意可知：f（x）=

m

•

n

-

1

2

=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小正周期T=π，值域?yàn)閇-2，0]，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴f（x）的增區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）∵f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，又f（C）=0，
∴f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，又C為△ABC的內(nèi)角，∴C=

π

3

，
又

d

=（1，sinA）與

e

=（2，sinB）共線，∴sinB=2sinA，根據(jù)正弦定理得：b=2a①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+b²-ab②，
聯(lián)立①②，解得a=1，b=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積得運(yùn)算法則及兩向量平行時(shí)滿足的條件，靈活運(yùn)用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡求值，是一道中檔題．