Question

二次函數f（x）=ax²-2（a-1）x+2在區間（4，+∞）內是減函數，則實數a的取值范圍為（　　）

• A、a≥

  1

  3

• B、a≤-

  1

  3

• C、a≥-

  1

  3

  且a≠0
• D、a=-3

Answer 1

分析：考慮兩種情況：當a大于0時，得出二次函數的圖象為開口向上的拋物線，根據二次函數的增減性得到函數在區間（4，+∞）內是減函數不可能；當a小于0時，得出二次函數的圖象為開口向下的拋物線，根據二次函數的頂點坐標公式求出此函數的頂點坐標，因為二次函數f（x）=ax²-2（a-1）x+2在區間（4，+∞）內是減函數，經過判斷得出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：當a＞0時，得到二次函數為開口向上的拋物線，與二次函數在區間（4，+∞）內是減函數矛盾，a取空集；
當a＜0時，二次函數f（x）=ax²-2（a-1）x+2在區間（4，+∞）內是減函數，
得到x=

2(a-1)

2a

≤4，解得：a≤-

1

3

．
故選B

點評：此題考查學生靈活運用二次函數的圖象與性質解決實際問題，考查了分類討論的數學思想，是一道綜合題．