Question

已知：f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（3）若f（x）在（1，+∞）內(nèi)恒為正，試比較a-b與1的大小．

Answer 1

分析：（1）由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零得，a^x-b^x＞0，再由a＞1＞b＞0和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出不等式解集即函數(shù)的定義域；
（2）先在定義域任取兩個(gè)自變量，即x₂＞x₁＞0，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較對(duì)應(yīng)真數(shù)的大小，再根據(jù)y=lgx在定義域上是增函數(shù)，得出f（x₂）與f（x₁）的大小，判斷出此函數(shù)的單調(diào)性；
（3）根據(jù)（2）證出的函數(shù)單調(diào)性，求出此區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的最小值f（1），只要f（1）≥0成立即可，代入函數(shù)解析式，利用lg1=0判斷a-b與1的大小．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義，則a^x-b^x＞0，∴(

a

b

)x＞1，
∵

a

b

＞1，∴x＞0，∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（2）設(shè)x₂＞x₁＞0，∵a＞1＞b＞0，
∴ax2＞ax1，bx1＞bx2，則-bx2＞-bx1，
∴ax2-bx2＞ax1-bx1＞0，∴

ax2-bx2

ax1-bx1

＞1．
∵函數(shù)y=lgx在定義域上是增函數(shù)，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)．
（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
∴f（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，即有f（x）＞f（1），
要使f（x）＞0恒成立，必須函數(shù)的最小值f（1）≥0，
即lg（a-b）≥0=lg1，則a-b≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題是關(guān)于對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的綜合題，根據(jù)真數(shù)大于零求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性即比較真數(shù)的大小，對(duì)于恒成立問(wèn)題，就是由函數(shù)的單調(diào)性求出在區(qū)間上的最值．