Question

已知二項式(

x

+

a

x

)6展開式的常數項為

∫

π 6 0

5cos3tdt，則a=

±

1

3

．

Answer 1

分析：先計算定積分，再計算二項式(

x

+

a

x

)6展開式的常數項為

C

2 6

×a2，利用二項式(

x

+

a

x

)6展開式的常數項為

∫

π 6 0

5cos3tdt，建立方程，即可求得結論．

解答：解：

∫

π 6 0

5cos3tdt=

5

3

sin3t

|

π 6 0

=

5

3

二項式(

x

+

a

x

)6展開式的通項為Tr+1

=C

r 6

(

x

)6-r×(

a

x

)r=

C

r 6

×ar×x3-

3r

2

令3-

3r

2

=0，則r=2，∴二項式(

x

+

a

x

)6展開式的常數項為

C

2 6

×a2
∵二項式(

x

+

a

x

)6展開式的常數項為

∫

π 6 0

5cos3tdt，
∴

C

2 6

×a2=

5

3

∴a=±

1

3

故答案為：±

1

3

點評：本題考查定積分的計算，考查二項展開式的通項，考查學生的計算能力，屬于基礎題．