Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝－x(x－a)²(x∈R)，其中a∈R．

(Ⅰ)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；

(Ⅱ)當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；

(Ⅲ)當(dāng)a＞3時(shí)，在區(qū)間[－1，0]上是否存在實(shí)數(shù)k使不等式f(k－cosx)≥f(k²－cos²x)對(duì)任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，得，且 　　，． 　　所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程是， 　　整理得；4分 　　(Ⅱ)解： 　　． 　　令，解得或；5分 　　由于，以下分兩種情況討論． 　　(1)若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表： 　　因此，函數(shù)在處取得極小值，且； 　　函數(shù)在處取得極大值，且；7分 　　(2)若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表： 　　因此，函數(shù)在處取得極小值，且； 　　函數(shù)在處取得極大值，且．9分 　　(Ⅲ)假設(shè)在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)滿足題意． 　　由，得，當(dāng)時(shí)， 　　，；10分 　　由(Ⅱ)知，在上是減函數(shù)， 　　要使， 　　只要 　　即①；12分 　　設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為． 　　要使①式恒成立，必須，即或． 　　所以，在區(qū)間上存在，使得對(duì)任意的恒成立．14分