Question

對任意實數k，圓C：（x-3）²+（y-4）²=13與直線l：kx-y-4k+3=0的位置關系是（　　）

A．相交

B．相切

C．相離

D．與k取值有關

Answer 1

分析：解法1：根據直線l的方程的特點，得出直線l恒過定點M（4，3），利用兩點間的距離公式求出M到圓心C的距離，由|MC|小于圓的半徑r，得到M在圓C內，進而得到直線l過圓C內一點，故直線l與圓C相交；
解法2：由圓的方程得出圓心坐標和半徑r，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，把d平方后利用基本不等式求出d的最大值，判斷d的最大值與半徑r的大小，即可得到直線l與圓C的位置關系．

解答：解法1：由圓C：（x-3）²+（y-4）²=13，得到圓心C坐標為（3，4），半徑r=

13

，
∵直線kx-y-4k+3=0恒過M（4，3），且|MC|=

(3-4)2+(4-3)2

=

2

＜

13

=r，
∴M在圓C內，
則直線l與圓C的位置關系是相交．
解法2：由圓C：（x-3）²+（y-4）²=13，得到圓心C坐標為（3，4），半徑r=

13

，
則圓心C到直線kx-y-4k+3=0的距離d=

|k+1|

k2+1

，
∵d²=

(k+1)2

k2+1

=1+

2k

k2+1

≤2，即d≤

2

＜

13

=r，
∴直線l與圓C的位置關系是相交．
故選A

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：兩點間的距離公式，點與圓的位置關系，以及恒過定點的直線方程，直線與圓的位置關系利用用d與r的大小來判斷，當0≤d＜r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d＞r時，直線與圓相離．其中解法1找出直線l恒過定點（4，3）是解本題的關鍵．