Question

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）見解析   （Ⅱ）見解析    （Ⅲ）

本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及二面角的求解的運用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得證明
（3）因為∴為面的法向量．∵，，
∴為平面的法向量．∴利用法向量的夾角公式，，
∴與的夾角為，即二面角的大小為．
方法一：解:（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接，則點、，

∴，又點，，∴
∴，且與不共線，∴．
又平面，平面，∴平面．…………………4分
（Ⅱ）∵，
∴，，即，，
又，∴平面．  ………8分
（Ⅲ）∵，，∴平面，
∴為面的法向量．∵，，
∴為平面的法向量．∴，
∴與的夾角為，即二面角的大小為