Question

【題目】大學先修課程，是在高中開設的具有大學水平的課程，旨在讓學有余力的高中生早接受大學思維方式、學習方法的訓練，為大學學習乃至未來的職業生涯做好準備.某高中成功開設大學先修課程已有兩年，共有250人參與學習先修課程，這兩年學習先修課程的學生都參加了高校的自主招生考試（滿分100分），結果如下表所示：

分數
人數	25	50	100	50	25
參加自主招生獲得通過的概率	0.9	0.8	0.6	0.4	0.3

（Ⅰ）這兩年學校共培養出優等生150人，根據下圖等高條形圖，填寫相應列聯表，并根據列聯表檢驗能否在犯錯的概率不超過0.01的前提下認為學習先修課程與優等生有關系？

	優等生	非優等生	總計
學習大學先修課程			250
沒有學習大學先修課程
總計	150

（Ⅱ）已知今年全校有150名學生報名學習大學選項課程，并都參加了高校的自主招生考試，以前兩年參加大學先修課程學習成績的頻率作為今年參加大學先修課程學習成績的概率.

（ⅰ）在今年參與大學先修課程學習的學生中任取一人，求他獲得高校自主招生通過的概率；

（ⅱ）某班有4名學生參加了大學先修課程的學習，設獲得高校自主招生通過的人數為，求的分布列，試估計今年全校參加大學先修課程學習的學生獲得高校自主招生通過的人數.

參考數據：

	0.15	0.10	0．05	0.025	0.010	0.005
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

參考公式：，其中

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據題意填寫列聯表，計算K2，對照臨界值得出結論；

（Ⅱ）（ⅰ）分成四類情況，利用互斥概率加法公式計算即可；（ⅱ）設獲得高校自主招生通過的人數為，則，從而得到的分布列及今年全校參加大學先修課程學習的學生獲得高校自主招生通過的人數.

（Ⅰ）列聯表如下：

	優等生	非優等生	總計
學習大學先修課程	50	200	250
沒有學習大學先修課程	100	900	1000
總計	150	1100	1250

由列聯表可得 ，

因此在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學習先修課程與優等生有關系.

（Ⅱ）（ⅰ）由題意得所求概率為

.

（ⅱ）設獲得高校自主招生通過的人數為，則，

，，

∴的分布列為

td style="width:72.45pt; border-right-style:solid; border-right-width:0.75pt; border-bottom-style:solid; border-bottom-width:0.75pt; padding:3.38pt 5.03pt; vertical-align:middle">

0	1	2	3	4

估計今年全校參加大學先修課程的學生獲得大學自主招生通過的人數為.