Question

已知y=3cos2x+2

3

sinxcosx+sin2x，x∈R．求：
（1）函數的最小正周期；函數的單調減區間；
（2）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，函數的最大值、最小值；
（3）函數的圖象是y=sinx經過怎樣的變化得到的？

Answer 1

分析：將函數解析式三項分別利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期；根據正弦函數的遞減區間列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到函數的遞減區間；
（2）由x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得出此時正弦函數的值域，根據正弦函數的值域即可求出函數的最大值與最小值；
（3）y=sinx圖象向左平移

π

6

個單位，然后橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，再縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變，最后向上平移2個單位，得到y=2sin（2x+

π

6

）+2．

解答：解：y=3cos²x+2

3

sinxcosx+sin²x
=3×

1+cos2x

2

+

3

sin2x+

1-cos2x

2

=

3

sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+

π

6

）+2，
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），
解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
則函數的單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
則函數的最大值為4，最小值為2-

3

；
（3）y=sinx圖象向左平移

π

6

個單位，得到y=sin（x+

π

6

），
橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到y=sin（2x+

π

6

），
縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變，得到y=2sin（2x+

π

6

），
向上平移2個單位，得到y=2sin（2x+

π

6

）+2．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及三角函數的圖象變換，靈活運用三角函數的恒等變換將函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．