Question

已知函數(shù)f（x）=x³+

48

x

，x∈[-3，-1]．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）=x³-3a²x+14a-1，若對(duì)于任意x₁∈[-3，-1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)及函數(shù)極值點(diǎn)的函數(shù)值，比較后，可得函數(shù)的最小值和最大值，進(jìn)而得到連續(xù)函數(shù)f（x）的值域A；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的值域B，結(jié)合對(duì)于任意x₁∈[-3，-1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，即B?A，并由集合包含關(guān)系的定義，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組，可得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+

48

x

，
∴f′（x）=3x²-

48

x2

=

3(x4-16)

x2

．
令f′（x）=0，結(jié)合x∈[-3，-1]．解得 x=-2．----------（2分）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如右表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，-1）	-1
f′（x）		+	0	-
f（x）	-43	增	-32	減	-49

所以，當(dāng)x∈（-3，-2）時(shí)，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈[-3，-1]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇-49，-32]．----------（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=x³-3a²x+14a-1，
∴g′（x）=3x²-3a²，
∵a≥1，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）≤0，g（x）為減函數(shù)，
故g（x）∈[g（1），g（0）]=[-3a²+14a，14a-1]．----------（7分）
若對(duì)于任意x₁∈[-3，-1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則
[-3a²+14a，14a-1]?[-49，-32]，
即

-3a2+14a≤-49，① 14a-1≥-32，②

解①式得 a≥7或a≤-

7

3

解②式得a≥-

31

14

，
故a的取值范圍為a≥7．----------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，函數(shù)的值域，恒成立問題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大．