Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分線，DE⊥BE交AB于D，圓O是△BDE的外接圓．

(1)求證：AC是圓O的切線；
(2)如果AD＝6，AE＝6，求BC的長．

Answer 1

（1）見解析（2）4

(1)證明：連OE，∵BE⊥DE，
∴O點為BD的中點．
∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE.
∵∠OEC＝∠OEB＋∠CEB＝∠OBE＋∠CEB＝∠CEB＋∠CBE＝90°，即OE⊥AC.
又E是AC與圓O的公共點，∴AC是圓O的切線．
(2)解：∵AE是圓的切線，∴∠AED＝∠ABE.
又∠A共用，∴△ADE∽△AEB，
∴，即，解得AB＝12，
∴圓O的半徑為3.
又∵OE∥BC，∴，即，解得BC＝4.