Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；（4分）

（Ⅱ）若過點(2，0)的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足

（為坐標原點），當＜ 時，求實數的取值范圍．（8分）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）利用已知條件列出關于a,b的方程，解方程即可求解；（Ⅱ）先設出直線方程，聯立方程，利用韋達定理找出坐標關系，解不等式即可求解參數范圍

（Ⅰ）由題意知， 所以．即． ┈┈2分又因為，所以，．故橢圓的方程為．┈┈4分

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在.設：，，，，由得.┈5分，. ┈┈6分

.∵，∴，，.

∵點在橢圓上，∴，∴.┈┈8分

∵＜，∴，整理得出，∴.∴，∵，∴，

∴或，∴實數取值范圍為.