Question

如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在不等式組

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面區(qū)域的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，則
（1）不等式組所確定的平面區(qū)域的面積為1；
（2）使得目標(biāo)函數(shù)z=b-a取得最大值的最優(yōu)解有且僅有一個(gè)；
（3）目標(biāo)函數(shù)ω=

b-2

a-1

的取值范圍是[-2，2]；
（4）目標(biāo)函數(shù)p=a²+b²-2b+1的最小值是

1

2

．
上述說(shuō)法中正確的是______（寫出所有正確選項(xiàng)）

Answer 1

∵M(jìn)、N兩點(diǎn)，關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，
∴k=1，又圓心(-

k

2

，-

m

2

)在直線x+y=0上
∴-

k

2

-

m

2

=0
∴m=-1
∴原不等式組變?yōu)?span dealflag="1" mathtag="math" >

x-y+2≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式組表示的平面區(qū)域，
（1）△AOB為不等式所表示的平面區(qū)域，
聯(lián)立

y=-x y=x+2

解得B（-1，1），A（-2，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-2|×|-1|=1．
故（1）正確；
（2）作出目標(biāo)函數(shù)z=b-a平行的直線，將其平移
當(dāng)直線z=b-a過(guò)直線x-y+2=0上的任一點(diǎn)時(shí)，z最大，
故（2）錯(cuò)；
（3）如圖
又因?yàn)?span mathtag="math" >ω=

b-2

a-1

表示點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（1，2）連線的斜率．
故當(dāng)過(guò)點(diǎn)B（-1，1）時(shí)，ω=

b-2

a-1

取最小值-

1

2

．
當(dāng)過(guò)O（0，0）時(shí)，ω=

b-2

a-1

取最大值2．
故答案為：[-

1

2

，2]．故（3）錯(cuò)；
（4）p=a²+b²-2b+1=a²+（b-1）²-表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)N到點(diǎn)M（0，1）的距離的平方，
由圖得：只有當(dāng)過(guò)M作直線x+y=0的垂線時(shí)，M（0，1）到平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的距離才最小．
而M與直線x+y=0的距離為：d=

|0+1|

12+12

=

1

2

．
∴|d|²=

1

2

．即目標(biāo)函數(shù)p=a²+b²-2b+1的最小值是

1

2

．
故（4）正確．
故答案為：（1），（4）．