Question

【題目】已知正項數列的前n項和為，且滿足，數列滿足，，且..

(1)求數列與的通項公式；

(2)求數列的前項的；

(3)將數列與的項相間排列構成新數列，設新數列的前項和為，若對任意正整數n都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1),.

(2)

(3).

【解析】分析：1）根據得出的遞推公式，從而可判斷為等差數列，由題意可知為等比數列，計算出公比即可得出其通項公式；
（2）利用錯位相減法可求數列的前項的；

(3)分別求出與的前n項和，相加即可得出；又，分離參數得出，設，判斷函數的單調性，求出的最小值即可得出的取值范圍．

詳解：

（1），即

當時

得

是以2為公差的等差數列

由得 數列是等比數列

數列的公比

（2）

得

（3）數列的前項和數列的前項和

又

設則

當時，單調遞減；當時單調遞增

又，當時

..