Question

已知函數的單調遞增區間為[m，n]
（1）求證f（m）f（n）=-4；
（2）當n-m取最小值時，點p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n），是函數f（x）圖象上的兩點，若存在x₀使得f′（x₀）=，x求證x₁＜|x₀|＜x₂．

Answer 1

解：（1）f′（x）=，
依題意，m，n是方程-4x²-2ax+4=0的兩根，
∴，
f（m）f（n）=
=
==-4．
（2）∵n-m=
=，
∴n-m取最小值時，a=0，n=1，m=-1，
∵f（x）在[-1，1]是增函數，0＜x₁＜x₂＜1，
∴＞0，從而x₀∈（-1，1）．
f′（x₀）===，
即．
∵=
＞（x₁x₂）²+2x₁x₂+1
=，
∴=＜．
設g（x）=，則g′（x）=，
∴當x∈（0，1）時，有g′（x）＜0，
∴g（x）是（0，1）上的減函數．
∴由g（x）＜g（x₁x₂），得＞x₁x₂＞x，∴|x₀|＞x₁．
由=，及0＜1-x＜1-x₁x₂，
得＜，
故1+＜1+，即|x₀|＜x₂，
∴x₁＜|x₀|＜x₂．
分析：（1）f′（x）=，依題意，m，n是方程-4x²-2ax+4=0的兩根，由此能夠證明f（m）f（n）=-4．
（2）由n-m=，知n-m取最小值時，a=0，n=1，m=-1，由f（x）在[-1，1]是增函數，0＜x₁＜x₂＜1，知＞0，從而x₀∈（-1，1）．由此入手，結合題設條件能夠證明x₁＜|x₀|＜x₂．
點評：本題考查函數恒成立問題的應用，解題時要注意韋達定理、導數性質、函數單調性、等價轉化思想等知識點的合理運用．