Question

已知函數f（x）=ax-3，g（x）=bx^-1+cx^-2（a，b∈R）且g(-

1

2

)-g(1)=f(0)．
（1）試求b，c所滿足的關系式；
（2）若b=0，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）有唯一解，求a的取值范圍；
（3）若b=1，集合A={x|f（x）＞g（x），g（x）＜0}，試求集合A；

Answer 1

分析：（1）且g(-

1

2

)-g(1)=f(0)得（-2b+4c）-（b+c）=-3，求出b，c所滿足的關系式即可；
（2）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1，因為方程f（x）=g（x），即ax-3=-x^-2，可化為a=3x^-1-x^-3，令x^-1=t則由題意可得，a=3t-t³在（0，+∞）上有唯一解．令h（t）=3t-t³（t＞0），求出h'（t）解出t，分區間討論函數的增減性，得到函數的極大值，得到a的取值范圍即可；
（3）由b=1解出c，則集合A={x|f（x）＞g（x）且g(x)＜0}={x|ax-3＞

1

x

且x＜0}={x|ax²-3x-1＜0且x＜0}，討論a的取值來決定A中的元素即可得到A．

解答：解：（1）由g(-

1

2

)-g(1)=f(0)，得（-2b+4c）-（b+c）=-3，
∴b，c所滿足的關系式為b-c-1=0．
（2）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1，因為方程f（x）=g（x），即ax-3=-x^-2，可化為a=3x^-1-x^-3，令x^-1=t
則由題意可得，a=3t-t³在（0，+∞）上有唯一解．
令h（t）=3t-t³（t＞0），由h'（t）=3-3t²=0，可得t=1，
當0＜t＜1時，由h'（t）＞0，可知h（t）是增函數；
當t＞1時，由h'（t）＜0，可知h（t）是減函數，故當t=1時，h（t）取極大值2；
由函數h（t）的圖象可在，當a=2或a≤0時，方程f（x）=g（x）有且僅有一個正實數解．
故所求a的取值范圍為{a|a=2或a≤0}．
（3）由b=1，b-c-1=0，可得c=0，A={x|f（x）＞g（x）且g(x)＜0}={x|ax-3＞

1

x

且x＜0}={x|ax²-3x-1＜0且x＜0}，
當a＞0時，A=(

3- 9+4a

2a

，0)；
當a=0時，A=(-

1

3

，0)；
當a＜-

9

4

時，（△=9+4a＜0），A=（-∞，0）；
當a=-

9

4

時，A={x|x＜0且x≠-

2

3

}；
當-

9

4

＜a＜0時，A=(-∞，

3+ 9+4a

2a

)∪(

3- 9+4a

2a

，0)．

點評：本題考查了函數與方程的綜合應用，利用換元法轉化成二次方程進行求解，利用導數研究函數增減性的能力．