Question

已知函數f(x)=lnx-

m

x

（m∈R）在區間[1，e]上取得最小值4，則m=

 

．

Answer 1

分析：求出函數的導函數，然后分m的范圍討論函數的單調性，根據函數的單調性求出函數的最小值，利用最小值等于4求m的值．

解答：解：函數f(x)=lnx-

m

x

的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

1

x

+

m

x2

．
當f^′（x）=0時，

1

x

+

m

x2

=0，此時x=-m，如果m≥0，則無解．
所以，當m≥0時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數，所以f（x）_min=f（1）=-m=4，m=-4，矛盾舍去；
當m＜0時，
若x∈（0，-m），f^′（x）＜0，f（x）為減函數，若x∈（-m，+∞），f^′（x）＞0，f（x）為增函數，
所以f（-m）=ln（-m）+1為極小值，也是最小值；
①當-m＜1，即-1＜m＜0時，f（x）在[1，e]上單調遞增，所以f（x）_min=f（1）=-m=4，所以m=-4（矛盾）；
②當-m＞e，即m＜-e時，f（x）在[1，e]上單調遞減，f（x）_min=f（e）=1-

m

e

=4．所以m=-3e．
③當-1≤-m≤e，即-e≤m≤-1時，f（x）在[1，e]上的最小值為f（-m）=ln（-m）+1=4．此時m=-e²＜-e（矛盾）．
綜上m=-3e．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上的最值，考查了分類討論的數學思想方法，解答的關鍵是正確分類，是中檔題．