Question

四棱錐成為正棱錐的一個充分但不必要條件是（　　）

A．各側面是正三角形

B．底面是正方形

C．各側面三角形的頂角為45度

D．頂點到底面的射影在底面對角線的交點上

Answer 1

分析：各側面是正三角形是四棱錐成為正棱錐的一個充分但不必要條件；底面是正方形是四棱錐成為正棱錐的必要不充分；各側面三角形的頂角為45度是四棱錐成為正棱錐的既不充分也不必要條件；各側面是等腰三角形且底面是正方形是四棱錐成為正棱錐的充要條件．

解答：解：∵各側面都是等邊三角形四棱錐是正棱錐，
但是正四棱錐側面的三角形腰和底邊不一定相等，
∴四棱錐成為正棱錐的一個充分但不必要條件是各側面是正三角形；
∵底面是正方形的四棱錐不一定是正四棱錐，
但是正四棱錐的底面一定是正方形，
∴底面是正方形是四棱錐成為正棱錐的必要不充分；
∵正四棱錐的側棱都相等而底面是正方形，
和各側面三角形的頂角為45度不能保證側棱都相等．
∴各側面三角形的頂角為45度是四棱錐成為正棱錐的既不充分也不必要條件；
各側面是等腰三角形且底面是正方形是四棱錐成為正棱錐的充要條件．
故選A．

點評：本題考查棱錐的結構特征，解題時要認真審題，熟練掌握必要條件、充分條件和充要條件的定義，熟悉正四棱錐的結構特征．