Question

已知函數f（x）=2x³+mx²+（1-m）x，（x∈R）．
（1）當m=1時，解不等式f′（x）＞0；
（2）若曲線y=f（x）的所有切線中，切線斜率的最小值為-11，求m的值．

Answer 1

分析：（1）當m=1時，直接求出的導數，然后解不等式f′（x）＞0，即可；
（2）求出函數的導數，利用曲線y=f（x）的所有切線中，切線斜率的最小值為-11，就是導函數的最小值為-11，
然后通過二次函數求m的值．

解答：解：（1）當m=1時，函數f（x）=2x³+x²，f′（x）=6x²+2x，
不等式f′（x）＞0，即6x²+2x＞0，解得x∈(-∞，-

1

3

)∪(0，+∞)．
不等式f′（x）＞0的解集為：(-∞，-

1

3

)∪(0，+∞)．
（2）因為函數f（x）=2x³+mx²+（1-m）x，所以f′(x)=6x2+2mx+1-m=6(x+

m

6

)2+1-m-

m2

6

，
因為曲線y=f（x）的所有切線中，切線斜率的最小值為-11，所以1-m-

m2

6

=-11∴m=6或-12．
所求m值為：6或-12．

點評：本題考查利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，導數的求法，會利用導數研究函數的最小值．注意二次不等式的解法，考查計算能力．