Question

【題目】設函數，其中a為常數：e≈2.71828為自然對數的底數．

（1）求曲線y＝f（x）在x＝0處的切線l在兩坐標軸上的截距相等，求a的值；

（2）若x＞0，不等式恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝2（2）a∈（0，1]

【解析】

（1）求導得到，求出切線方程為，利用截距相等得到答案。

（2）討論和兩種情況，得到，設函數，討論和兩種情況得到答案。

（1）f′（x），f′（0）＝1﹣a，f（0）＝1，

故切線方程是y＝（1﹣a）x+1，由已知得1，解得：a＝2；

（2）當a＜0時，取x0∈（0，），f（x0）0，而0與已知矛盾

當a＞0時，對x＞0，f（x）即

故11所以ax+1＜ex，

設函數g（x）＝ex﹣ax﹣1（x＞0），則g′（x）＝ex﹣a（x＞0），

①當0＜a≤1時，g′（x）＞0恒成立，

故g（x）在（0，+∞）遞增，g（x）＞g（0）＝0，（x＞0），

從而不等式ax+1＜ex對任意x＞0恒成立，于是f（x）對任意x＞0恒成立，

②當a＞時，由g′（x）＜0，得0＜x＜lna，故g（x）在（0，lna）遞減，

故g（lna）＜g（0）＝0，這與g（x）＞0對任意x＞0恒成立矛盾，

綜上所述：a∈（0，1]．