Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，

OA

+

OB

與

a

=（2，-1）共線．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設M為橢圓上任意一點，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），證明λ²+μ²-

2

3

λμ為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量的基本定理及其意義

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線AB的方程為y=x-c與橢圓方程聯立可得根與系數的關系．由

OA

+

OB

與

a

=（2，-1）共線，及離心率計算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

=

2

2

e=

c

a

=

1- b2 a2

即可得出；
（2）由（1）可得橢圓的方程為：x²+2y²=2b²，設

OM

=(x，y)，利用向量的坐標運算

OM

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），可得M，代入橢圓方程即可得出．

解答： 解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由焦點F（c，0），則直線AB的方程為y=x-c．
代入橢圓方程化簡得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2a2c

a2+b2

，x1x2=

a2c2-a2b2

a2+b2

．
由

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

a

=（2，-1），

OA

+

OB

與

a

=（2，-1）共線，
可得2（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，
又y₁=x₁-c，y₂=x₂-c，
∴2（x₁+x₂-2c）+（x₁+x₂）=0，
∴x1+x2=

4c

3

，

2a2c

a2+b2

=

4c

3

，
∴a²=2b²，
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

2

2

．
（2）證明：由（1）可得橢圓的方程為：x²+2y²=2b²，
設

OM

=(x，y)，
∵

OM

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），
∴（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），

x=λx1+μx2 y=λy1+μy2

，
∵點M在橢圓上，
∴(λx1+μx2)2+2(λy1+μy2)2=2b2，
化為λ2(

x

2 1

+2

y

2 1

)+μ2(

x

2 2

+2

y

2 2

)+2λμ(x1x2+2y1y2)=2b2（*）．
由（1）可知：x1+x2=

4c

3

，a²=2b²=2c²，
∴x1x2=

a2c2-a2b2

a2+b2

=0，
∴x₁x₂+2y₁y₂=2（x₁-c）（x₂-c）=-2(x1+x2)c+2c2=-

8

3

c2+2c2=-

2c2

3

，
又

x

2 1

+2

y

2 1

=2b²，

x

2 2

+

y

2 2

=2b2，
代入（*）可得λ2+μ2-

2

3

λμ=1，為定值．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交轉化為方程聯立可得根與系數的關系、向量的坐標運算等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．