Question

（2012•包頭一模）下列命題錯誤的是（　　）

• A．命題“若x²+y²=0，則x=y=0”的逆否命題為“若x，y中至少有一個不為0，則x²+y²≠0”
• B．若命題p：?x0∈R，

  x

  2 0

  -x0+1≤0，則?p：?x∈R，x²-x+1＞0
• C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件
• D．若向量

  a

  ，

  b

  滿足

  a

  ?

  b

  ＜0，則

  a

  與

  b

  的夾角為鈍角

Answer 1

分析：A．我們知道：命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”，同時注意“x=y=0”的否定是“x，y中至少有一個不為0”，據此可以判斷出A的真假．
B．依據“命題：?x₀∈R，結論p成立”，則￢p為：“?x∈R，結論p的反面成立”，可以判斷出B的真假．
C．由于sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，因此在△ABC中，sinA＞sinB?sin

A-B

2

＞0?A＞B．由此可以判斷出C是否正確．
D．由向量

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞＜0，可得

a

與

b

的夾角

π

2

＜

a

，

b

＞≤π，可以判斷出D是否正確．

解答：解：A．依據命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”，可知：命題“若x²+y²=0，則x=y=0”的逆否命題為“若x，y中至少有一個不為0，則x²+y²≠0”．可判斷出A正確．
B．依據命題的否定法則：“命題：?x₀∈R，

x

2 0

-x₀+1≤0”的否定應是“?x∈R，x²-x+1＞0”，故B是真命題．
C．由于sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0＜

A+B

2

＜

π

2

，∴0＜cos

A+B

2

＜1，
又0＜B＜A＜π，∴0＜A-B＜π，∴0＜

A-B

2

＜

π

2

，∴0＜sin

A-B

2

＜1．
據以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB?sin

A-B

2

＞0?A＞B．故在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件．
因此C正確．
D．由向量

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞＜0，∴cos＜

a

，

b

＞＜0，∴

a

與

b

的夾角

π

2

＜

a

，

b

＞≤π，
∴向量

a

與

b

的夾角不一定是鈍角，亦可以為平角π，∴可以判斷出D是錯誤的．
故答案是D．

點評：本題綜合考查了四種命題之間的關系、命題的否定、三角形中的角大小與其相應的正弦值之間的大小關系、向量的夾角，解決問題的關鍵是熟練掌握其有關基礎知識．