Question

（本題滿分20分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分.）

平面直角坐標系中，已知，…，是直線上的個點（，、均為非零常數）.

（1）若數列成等差數列，求證：數列也成等差數列；

（2）若點是直線上一點，且，求的值；

（3）若點滿足，我們稱是向量，，…，的線性組合,是該線性組合的系數數列.

當是向量，，…，的線性組合時，請參考以下線索：

① 系數數列需滿足怎樣的條件，點會落在直線上？

② 若點落在直線上，系數數列會滿足怎樣的結論？

③ 能否根據你給出的系數數列滿足的條件，確定在直線上的點的個數或坐標？

試提出一個相關命題（或猜想）并開展研究，寫出你的研究過程.【本小題將根據你提出的命題（或猜想）的完備程度和研究過程中體現的思維層次，給予不同的評分】

Answer 1

（本題滿分20分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分）

解：（1）證：設等差數列的公差為,

因為，

所以為定值，即數列也成等差數列.

（2）證：因為點、和都是直線上一點，故有()

于是，

令，，則有.

（3）（文科）假設存在點滿足要求,

則有，

又當時，恒有，則又有

，

所以

又因為數列成等差數列，

于是，

所以，

故，同理，且點在直線上（是、的中點），即存在點滿足要求.

（3）（理科）

提出命題：（在本題大前提下）若點滿足，則系數數列的和是點在直線上的充要條件.

證明：設，由條件，

    先證充分性：“當時，點在直線上”.

因為，

故

而（），所以

 

 

當時，即有，即點在直線上.

再證必要性：“若點在直線上，則.”

因為，

故

而因為（），所以

 

 

    又因為點在直線上，所以滿足，故.

補充：由以上證明進一步可知，對于直線上任一點，若滿足，則都有.