Question

(12分)

已知函數（其中是自然對數的底數，為正數）

（I）若在處取得極值，且是的一個零點，求的值；

（II）若，求在區間上的最大值；

（III）設函數在區間上是減函數，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）時，單調遞減；時，單調遞增

當，即時，

當，即時，

（III）

【解析】(I)由可得關于k的方程,解出k值.

(II)先求導,然后利用導數研究f(x)的單調性極值和最值.

(III)本小題的實質是在區間上恒成立,即.

解法一：

（I）由已知

（II）

由此得時，單調遞減；時，單調遞增

當，即時，

當，即時，

（III）

在在是減函數，

在上恒成立

即在上恒成立

在上恒成立

又當且僅當時等號成立.

解法二；（I）,（II）同解法一

（III）

在是減函數，

在上恒成立

即在上恒成立

不妨設

由于無解.

綜上所述，得出，即的取值范圍是