Question

已知函數.
（1）若函數為奇函數，求a的值；
（2）若函數在處取得極大值，求實數a的值；
（3）若，求在區間上的最大值．

Answer 1

（1）；（2）;(3) 當時，在取得最大值;
當時, 取得最大值.

試題分析：（1）首先求出導數：，
代入得：.
因為為奇函數，所以必為偶函數，即，
所以.
（2）首先求出函數的極大值點.又由題設：函數在處取得極大值.二者相等，便可得的值.
（3）.
由得：.
注意它的兩個零點的差恰好為1，且必有.
結合導函數的圖象，可知導函數的符號，從而得到函數的單調區間和極值點.
試題解析：（1）因為，
所以                           2分
由二次函數奇偶性的定義，因為為奇函數，
所以為偶函數，即，
所以                                               4分
(2)因為.
令，得，顯然.
所以隨的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

 由此可知，函數在處取得極大值.
又由題設知：函數在處取得極大值，所以.
（3）.
令，得.因為，所以.
當時，對成立，
所以當時，取得最大值;
當時，在時，，單調遞增，在時，，單調遞減，所以當時，取得最大值;
當時，在時，，單調遞減，所以當時，取得最大值;
綜上所述, 當時，在取得最大值;
當時, 取得最大值.               13分