Question

(本小題滿分14分) 已知函數(shù)，其中。。

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）1（2）（3）

【解析】

試題分析：由題意知，，所以，     ……2分

（1）所以且，.                            ……4分

（2）對(duì)任意的恒成立,                      ……5分

對(duì)任意的恒成立,                            

,

而當(dāng)時(shí)，取最大值為1，

，且，.                                         ……7分

（3），且,

；或；

在和上遞增；而在上遞減。           ……8分

當(dāng)時(shí)

i），則在上遞增，

所以在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)。                             ……9分

ii），則在上遞減，而在上遞增。      

在上有極小值（也就是最小值），

而，

    ，

時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)。                       ……12分

iii），則在上遞減，

所以在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)。                         ……13分

綜上所述：.                                            ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和構(gòu)造函數(shù)證明不等式以及基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和構(gòu)造能力以及運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的性質(zhì)（尤其是單調(diào)性、極值、最值等）的有力工具，要靈活應(yīng)用.