Question

【題目】設(shè)數(shù)列滿足， ，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若表示不超過的最大整數(shù)，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)2016.

【解析】試題分析：（1）構(gòu)造，可證明數(shù)列是為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，故 ，根據(jù)累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法可得 ， .

試題解析：（1）構(gòu)造，則，

由題意可得 ，

故數(shù)列是4為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，故 ，故

， ， ，

以上個(gè)式子相加可得

（2），∴

∴

則 .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.