Question

設所有可表示為兩整數的平方差的整數組成集合M．給出下列命題：
①所有奇數都屬于M．
②若偶數2k屬于M，則k∈M．
③若a∈M，b∈M，則ab∈M．
④把所有不屬于M的正整數從小到大依次排成一個數列，則它的前n項和S_n∈M． 
其中正確命題的序號是    ．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】分析：根據已知中集合M的定義，根據集合元素與集合關系的判斷，我們分別推證①③正確，舉反例推翻②④可得答案．
解答：解：∵所有可表示為兩整數的平方差的整數組成集合M．
設奇數2k+1 （k∈Z）則：2k+1=（k+1）²-k²，故①所有奇數都屬于M正確；
由12=4²-2²得，12∈M，但6∉M，故②若偶數2k屬于M，則k∈M錯誤；
∵a∈M，b∈M，設a=m²-n²，b=p²-q²，則ab=（m²-n²）（p²-q² ）=（mp）²+（nq）²-（mq）²-（pn）²=（mp+nq）²-（mq+np）²∈M，故③正確；
當n=1時，S_n即為第一個不屬于M的正整數，此時S_n∉M，故④錯誤；
故答案為：①③
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中熟練掌握集合M的元素的特征是解答的關鍵．