Question

對定義域分別是F、G的函數y=f（x）、y=g（x），規定：函數h（x）=

f(x)+g(x)，當x∈F且x∈G   f(x)，當x∈F且x∉G   g(x)，當x∉F且x∈G

已知函數f（x）=x²，g（x）=alnx（a∈R）．
（1）求函數h（x）的解析式；
（2）對于實數a，函數h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出兩個函數各自的定義域，再代入分段函數的表達式即可求出函數h（x）的解析式；
（2）先求出第二段的最小值，再對第一段中的字母a分與0的三種關系分別討論求出其最小值，再與第二段的最小值相比，最小的那個即為函數h（x）的最小值．

解答：解：（1）因為函數f（x）=x²的定義域F=（-∞，+∞），函數g（x）=alnx的定義域G=（0，+∞），
所以h（x）=

x2+alnx     x＞0 x2

x≤0（4分）
（2）當x≤0時，函數h（x）=x²單調遞減，
所以函數h（x）在（-∞，0]上的最小值為h（0）=0．（5分）
當x＞0時，h（x）=x²+alnx．
若a=0，函數h（x）=x²在（0，+∞）上單調遞增．此時，函數h（x）不存在最小值．（6分）
若a＞0，因為h′(x)=2x+

a

x

=

2x2+a

x

＞0，（7分）
所以函數h（x）=x²+alnx在（0，+∞）上單調遞增．此時，函數h（x）不存在最小值．（8分）
若a＜0，因為h′(x)=

2x2+a

x

=

2(x+ - a 2 )(x- - a 2 )

x

，（9分）
所以函數h（x）=x²+alnx在(0，

- a 2

)上單調遞減，在(

- a 2

，+∞)上單調遞增．此時，函數h（x）的最小值為h(

- a 2

)．（10分）
因為h(

- a 2

)=-

a

2

+aln

- a 2

=-

a

2

+

a

2

ln(-

a

2

)=-

a

2

[1-ln(-

a

2

)]，（11分）
所以當-2e≤a＜0時，h(

- a 2

)≥0，當a＜-2e時，h(

- a 2

)＜0．（13分）
綜上可知，當a＞0時，函數h（x）沒有最小值；
當-2e≤a≤0時，函數h（x）的最小值為h（0）=0；
當a＜-2e時，函數h（x）的最小值為h(

- a 2

)=-

a

2

[1-ln(-

a

2

)]．（14分）

點評：本題主要考查函數解析式的求解及常用方法，利用導數求閉區間上函數的最值和分類討論思想在解題中的應用，是對知識及思想方法的綜合考查，屬于中檔題．