Question

設(shè)l，m，n是互不重合的直線，α⊥β，l?α，α，β是不重合的平面，則下列命題為真命題的是（　　）

A．若l⊥α，l∥β，則α⊥β

B．若α⊥β，l?α，則l⊥β

C．若l⊥n，m⊥n，則l∥m

D．若α⊥β，l?α，n?β，則l⊥n

Answer 1

分析：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂直的判定定理，可證出A是正確的；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可以舉反例得出B錯(cuò)誤；根據(jù)直線與平面垂直的定義，舉反例可得C錯(cuò)誤，根據(jù)直線與直線垂直的定義，舉反例可得D項(xiàng)錯(cuò)誤．

解答：解：對(duì)于A，經(jīng)過(guò)l作一個(gè)平面γ，設(shè)β∩γ=m
因?yàn)閘∥β，所以l∥m，結(jié)合l⊥α，所以m⊥α
所以平面β經(jīng)過(guò)平面α的垂線，因此α⊥β，故A正確；
對(duì)于B，若α⊥β，且α∩β=a，在α內(nèi)作直線l與直線a斜交，
則l?α，但“l(fā)⊥β”不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若l⊥n，m⊥n，則l與m可能是相交直線
反例：若n⊥α，且l、m是α內(nèi)的相交直線，
則l⊥n與m⊥n同時(shí)成立，故C錯(cuò)；
對(duì)于D，若α⊥β，且α∩β=l，在β內(nèi)作直線n與直線l斜交，
可得l?α，n?β，但l與n不垂直．故D錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了平面與平面垂直、直線與平面垂直，以及直線與直線平行、垂直的判定，同時(shí)還考查了空間的平行與垂直之間的聯(lián)系，屬于基礎(chǔ)題．