Question

【題目】設橢圓： 的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，且橢圓的長軸長為4．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線交橢圓于， 兩點， （）為橢圓上一點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，橢圓的長軸為及，求得的值，進而求得橢圓的方程；（Ⅱ）將直線與（Ⅰ）求得的橢圓方程聯立，利用韋達定理和，利用弦長公式及點到直線的距離，求得的面積，同時，進而求得的面積的最大值.

試題解析：（Ⅰ）雙曲線的離心率為（1分），

則橢圓的離心率為（2分）， 2a=4， （3分）

由，故橢圓M的方程為． （5分）

（Ⅱ）由，得， （6分）

由，得﹣2＜m＜2

∵，． （7分）

∴=（9分）

又P到AB的距離為． （10分）

則

， （12分）

當且僅當取等號 （13分）

∴． （14分）