Question

15、如圖是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD為底面的長方體被一平面斜截所得的幾何體，其中四邊形EFGH為截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．
（1）作出截面EFGH與底面ABCD的交線l；
（2）截面四邊形EFGH是否為菱形？并證明你的結論；
（3）求DH的長．

Answer 1

分析：（1）根據公里3分別作出兩個平面的公共點，連接這兩個點所成的直線，即是所求的直線；
（2）根據平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四邊形EFGH為平行四邊形，由題意求出EF=FG，即證出結論；
（3）根據幾何體的結構特征得AE+CG=BF+DH，代入數據求出DH的長．

解答：解：（1）根據公里3，作HE與DA的交點P，作GF與CB的交點Q，則點Q是截面EFGH與底面ABCD，
故連PQ得直線l，它便是所求作，如下圖：

（2）截面EFGH為菱形．
∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分別截平面ABFE與平面DCGH得直線EF與GH，∴EF∥GH．
同理，FG∥EH，∴四邊形EFGH為平行四邊形．
又∵EF²=AB²+（BF-AE）²=25，FG²=BC²+（CG-BF）²=25，∴EF=FG=5，
∴四邊形EFGH為菱形．
（3）∵幾何體是長方體被一平面斜截所得的，
∴AE+CG=BF+DH，把AE=5，BF=8，CG=12代入得，DH=9．

點評：本題考查了簡單幾何體的結構特征，考查了面面平行性質定理的應用，利用勾股定理求線段的長度，利用公里3作兩個平面的交線，考查了觀察能力和空間想象能力．